Persamaan Diferensial

Febrizal, MT

Pendahuluan

• Persamaan diferensial merupakan persamaan yang berkaitan dengan turunan dari suatu fungsi atau memuat suku-suku dari fungsi tersebut dan atau turunannya.

• Bila fungsi tersebut tergantung pada satu peubah bebas riil maka disebut Persamaan Diferensial Biasa (PDB). Sedangkan bila fungsi terdiri dari lebih dari satu peubah bebas maka disebut Persamaan Diferensial Parsial (PDP).

Contoh

• Persamaan berikut merupakan PDB dengan peubah bebas x dan peubah tak bebas y.

Contoh

• Persamaan berikut merupakan PDP

Orde Persamaan Diferensial

• Orde persamaan diferensial adalah besar turunan tertinggi yang terjadi pada PD tersebut. Dari contoh di atas persamaan Bernoulli mempunyai orde 1 sedangkan persamaan Airy, Bessel dan Van Der Pol berorde 2.

Sifat Kelinieran

• Berdasarkan sifat kelinieran dari peubah tak bebasnya, persamaan diferensial dapat dibedakan menjadi PD Linier dan PD tidak linier.

• Bentuk umum PD linier orde n diberikan :

• Bila f(x) = 0 maka disebut PD Linier Homogen sedang bila f(x) ≠ 0 maka disebut PD Linier tak Homogen.

• Bila tidak dapat dinyatakan seperti bentuk di atas dikatakan PD tidak Linier.

• Dari contoh terdahulu, persamaan Airy dan Bessel merupakan PD Linier ( Homogen ) sedangkan persamaan Bernoulli dan Van Der Pol merupakan PD tidak linier.

Latihan

• Klasifikasikan PD berikut berdasarkan: Orde, linier atau tidak linier, homogen atau tidak homogen

Penyelesaian PD Orde I

• Untuk menyelesaikan persamaan diferensial, kita harus mencari fungsi yang memenuhi persamaan tsb, artinya yang membuat persamaan tsb menjadi benar.

• Hal ini berarti bahwa kita harus mengolah persamaan tsb sedemikian rupa sehingga semua koefisien diferensialnya hilang dan tinggallah hubungan antara y dan x.

1. Integral Langsung

• Jika suatu PD dapat disusun dalam bentuk , maka persamaan tsb bisa diselesaikan dengan integral sederhana.

)(xfdx

dy

• Setiap kali kita mengintegralkan suatu fungsi, konstanta integrasi C harus selalu disertakan.

• Seperti yang kita ketahui, bahwa nilai C tidak dapat ditentukan kecuali jika diberi keterangan tambahan tentang fungsi tsb.

• Penyelesaian PD yang masih mengandung konstanta C tersebut disebut sebagai solusi umum PD.

• Jika kita diberitahu nilai y untuk nilai x tertentu, maka konstanta C bisa dihitung. Penyelesaian PD yang diketahui nilai C nya disebut sebagai Solusi Khusus PD

74 xey

2. Pemisahan Variabel

• Seringkali dijumpai pada PD order satu, peubah x dan y dapat dipisahkan sehingga peubah x dapat dikelompokan dengan dx dan peubah y dapat dikelompokan dengan dy pada ruas yang berbeda.

• Sehingga solusi umum PD dapat secara langsung dengan mengintegralkan kedua ruas.

• Bentuk umum PD yang bisa dipisahkan variabel nya adalah:

• Solusi umum PD nya didapat dengan menyelesaikan:

Latihan

3. Dengan Substitusi y = vx

• Beberapa bentuk PD tak linier order satu dengan peubah tak terpisah namun koefisiennya merupakan fungsi homogen dengan order sama dapat dicari solusinya menggunakan metode substitusi sehingga didapatkan bentuk PD peubah terpisah.

• Fungsi F(x,y) disebut fungsi homogen bila terdapat n є R sehingga berlaku F(k x,k y) = knF(x, y). n disebut order dari fungsi homogen F(x,y).

• Solusi PD dicari dengan mensubstitusikan : y = v x dan dy/dx = v + x dv/dx ke dalam PD sehingga didapatkan bentuk PD dengan peubah terpisah.

contoh

• Perhatikan persamaan berikut:

• Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttp ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara faktor x dan faktor y nya sehingga kita tidak bisa menyelesaikan persamaan tsb dengan cara integral langsung.

• Untuk menyelesaikannya kita substitusikan persamaan tsb dengan y = v x dan dy/dx = v + x dv/dx

• Sehingga persamaan menjadi:

• Dalam bentuk yg terahir, kita bisa menyele-saikan persamaan tsb dengan cara pemisahan variabel

Latihan

4. Menggunakan Faktor Integral

• PD yang bisa diselesaikan dengan faktor integral adalah PD linier orde pertama yang berbentuk: dy/dx + Py = Q .

• Dengan P dan Q adalah fungsi dari x (atau konstanta.

• Cara penyelesaiannya yaitu dengan mengalikan kedua ruas PD tsb dgn faktor integral (FI) yang berbentuk e∫P dx.

• sehingga didapat solusi PD tsb adalah: y.FI = ∫ Q. FI dx

contoh

• Sehingga solusi PD nya adalah:

Latihan

Penyelesaian PD Bernoulli

• PD Bernoulli adalah PD yang berbentuk

dimana P dan Q adalah fungsi x atau konstanta.• Langkah2 penyelesaian:– Bagi kedua ruasnya dengan yn, sehingga diperoleh

– Misalkan z = y1-n

– Sehingga dengan mendiferensialkannya, akan diperoleh

• Jika kita kalikan (ii) dengan (1-n), maka suku pertamanya akan menjadi dz/dx.

• Dan persamaan tsb bisa ditulis menjadi:• dz/dx + (1-n)P1z = (1-n)Q1

• Sehingga persamaan tsb bisa diselesaikan dengan menggunakan faktor integrasi.

contoh

• Selesaikanlah PD • Jawab:• Bagi kedua ruas dengan y2, sehingga diperoleh:

• Misalkan z = y1-n, dlm hal ini z = y1-2 = y-1

• Kalikan persamaan tsb dg -1, agar suku pertama menjadi dz/dx

• Persamaan tsb menjadi

• Persamaan ini bisa diselesaikan dengan menggunakan faktor integrasi.

Contoh 2

• Selesaikan• Jawaban• Pertama-tama kita haru menuliskannya dalam bentuk

• Apa yang harus dilakukan?

• Sehingga diperoleh:

• Bagilah persamaan diatas dengan faktor pangkat y yang ada diruas kanan, sehingga diperoleh....

• Selanjutnya gunakan substitusi z = y1-n yang dalam contoh ini adalah z = y1-4 = y-3

• z = y-3, berarti dz/dx = .....

• Kalikan persamaan dengan -3, agar suku pertamanya menjadi dz/dx, maka kita dapatkan..

Contoh 3

• selesaikannlah

Contoh 4

• selesaikanlah