1. Pengantar    

a. Hubungan  Gerak  Melingkar  dan  Gerak  Lurus    Gerak  melingkar  adalah  gerak  benda  yang  lintasannya  berbentuk  lingkaran  dengan  jari  jari  𝑟    Kedudukan  benda  ditentukan  berdasarkan  sudut  𝜃  dan  jari  jari  𝑟  lintasannya    

Gambar  1    Hubungan  antara  jarak  tempuh  linier  dan  sudut  tempuh  adalah    

𝑠 = 𝜃𝑟    Kecepatan  sudut  adalah  sudut  yang  ditempuh  per  satuan  waktu    Percepatan  sudut  adalah  perubahan  kecepatan  sudut  per  satuan  waktu    Hubungan  antara  kecepatan  sudut  dan  kecepatan  linier    𝑣 = !

!

𝑣 = 𝜃𝑟!

𝑣 = 𝜔𝑟

           𝑎 = !

!

𝑎 = !"!

𝑎 = 𝛼𝑟

 

    𝑣 = 𝜔𝑟             𝑎 = 𝛼𝑟            

Hubungan  gerak  lurus  (translasi)  dan  gerak  melingkar  (rotasi)    

Translasi     Rotasi     Hubungan  Jarak   𝑠   Sudut   𝜃   𝑠 = 𝜃𝑟  Kecepatan   𝑣   Kecepatan   𝜔   𝑣 = 𝜔𝑟  Percepatan   𝑎   Percepatan   𝛼   𝑎 = 𝛼𝑟    

 

2. Momen  Gaya  dan  Momen  Inersia    

a. Momen  Gaya  dan  Momen  Inersia    Pada  pelajaran  tentang  hukum  Newton  II  diketahui  bahwa  benda  melakukan  gerak  lurus  (translasi)  akibat  adanya  gaya  𝐹  yang  bekerja  pada  benda    Pada  gerak  melingkar  (rotasi)  hukum  Newton  II  juga  berlaku,  benda  melakukan  gerak  melingkar  akibat  adanya  momen  gaya  atau  torsi  atau  momen  putar    yang  dilambangkan  dengan  𝜏    Momen  gaya  adalah  hasil  perkalian  vektor  antara  gaya  dengan  jarak  dari  sumbu  putar  ke  garis  kerja  gaya.  Momen  gaya  adalah  besaran  vektor    

𝜏 = 𝐹×𝑟    Momen  gaya  di  atas  yang  mengakibatkan  benda  melakukan  gerak  rotasi  sehingga  benda  memiliki  percepatan  sudut  𝛼    𝑟    adalah  panjang  garis  yang  tegak  lurus  dari  sumbu  putar  ke  garis  kerja  gaya    

Gambar  2    Hukum  Newton  II  pada  gerak  translasi  merumuskan  𝐹 = 𝑚𝑎  maka  momen  gaya  besarnya  adalah    𝜏 = 𝐹×𝑟𝜏 = 𝑚×𝑎×𝑟𝜏 = 𝑚×𝛼×𝑟×𝑟𝜏 = 𝑚×𝛼×𝑟!𝜏 = 𝑚𝑟! 𝛼

   

 Jika  pada  gerak  translasi  massa  𝑚  adalah  ukuran  kelembaman  benda  maka  pada  gerak  rotasi  besaran    𝑚𝑟!  adalah  ukuran  kelembaman  yang  disebut  juga  momen  kelembaman  atau  momen  inersia  dan  dilambangkan  dengan  𝐼  sehingga    

𝐼 = 𝑚𝑟!  dan   𝜏 = 𝐼𝛼  

 

Makin  besar  kelembaman  suatu  benda  semakin  besar  pula  gaya  atau  momen  gaya  yang  diperlukan  untuk  mengubah  keadaan  gerak  translasi  atau  rotasi  suatu  benda    Momen  gaya  atau  torsi  adalah  besaran  vektor  yang  mempunyai  besaran  dan  arah    Arah  vektor  momen  gaya  atau  torsi  memenuhi  kaidah  tangan  kanan  dimana  arah  genggaman  keempat  jari  adalah  arah  rotasi  dan  jempol  sebagai  arah  momen  gaya    Rotasi  yang  searah  putaran  jarum  jam  adalah   −  sedangkan  rotasi  berlawanan  arah  jarum  jam  adalah   +    Untuk  beberapa  gaya  yang  bekerja  pada  suatu  bidang  yang  sama    maka  momen  gaya  tegak  lurus  bidang  sehingga  resultannya  adalah    

𝜏!"!#$ = 𝜏! + 𝜏! +⋯+ 𝜏!        

   Hubungan  gerak  lurus  (translasi)  dan  gerak  melingkar  (rotasi)    Translasi     Rotasi     Hubungan  Kelembaman   𝑚   Kelembaman   𝐼   𝐼 = 𝑚𝑟!  Percepatan   𝑎   Percepatan   𝛼   𝑎 = 𝛼𝑟  Gaya   𝐹   Momen  Gaya   𝜏   𝜏 = 𝐹×𝑟  Rumus   𝐹 = 𝑚𝑎   Rumus   𝜏 = 𝐼𝛼   𝐹×𝑟 = 𝐼𝛼    

 

b. Momen  Inersia  dan  Bentuk  Benda    Pada  persamaan  𝐼 = 𝑚𝑟!  diasumsikan  benda  adalah  partikel  tunggal  yang  sagat  kecil  dengan  massa  𝑚  dan  berjarak  𝑟  dari  sumbu  putar    Suatu  benda  dapat  dianggap  sebagai  kumpulan  beberapa  partikel  sehingga  momen  inersianya  dapat  ditulis  sebagai      

𝐼 = 𝑚!𝑟!! +𝑚!𝑟!! +⋯+𝑚!𝑟!! = 𝑚!𝑟!!!!!

!!!  

 Benda  tegar  adalah  benda  yang  memiliki  suatu  kesatuan  yang  kontinu  dan  tidak  dapat  dipisahkan  satu  sama  lain,  sehingga  dengan  memanfaatkan  teknik  integral  momen  inersianya  adalah    

𝐼 = 𝑟!𝑑𝑚  

 Contoh  untuk  batang  berbentuk  silinder  dengan  kerapatan  massa  𝜌  dan  panjangnya  𝐿  diputar  pada  jarak  ℎ  dari  ujung    𝑚 = 𝜌𝑉⟹ ∆𝑚 = 𝜌∆𝑉⟹ 𝑑𝑚 = 𝜌𝑑𝑉      sedangkan  volume  adalah  luas  alas  kali  tinggi  𝑉 = 𝐴𝑥  maka  𝑑𝑉 = 𝐴𝑑𝑥    

Gambar  3    𝐼 = 𝑥!𝑑𝑚𝐼 = 𝑥!𝜌𝑑𝑉𝐼 = 𝑥!𝜌𝐴𝑑𝑥𝐼 = 𝑥! !"#

!𝑑𝑥

𝐼 = 𝑥! !!𝑑𝑥

𝐼 = !!

𝑥!𝑑𝑥!!!!!

𝐼 = !!

!!

! !!

!!!

         

𝐼 = !!

!!

! !!

!!!

𝐼 = !!

!!! !

!− !! !

!

𝐼 = !!

!!!!!!!!!!!!!!!

!+ !!

!

𝐼 = !!

!!!!!!!!!!!!

!

𝐼 = 𝑚 !!!!!!!!!!

!

 

 

Jika  ℎ = 0           Jika  ℎ = !!  

(sumbu  putar  di  ujung)       (sumbu  putar  di  tengah)    

𝐼 = 𝑚 !!!!!!!!!!

!

𝐼 = 𝑚 !!!!! ! !! ! !

!

𝐼 = 𝑚 !!!!!!!

𝐼 = !!𝑚𝑙!

       

𝐼 = 𝑚!!!!! !

! !! !!

!

!

𝐼 = 𝑚!!!!!

!

! !!!!

!!

𝐼 = 𝑚!!!

! !!!!

! !!!!

!!

𝐼 = 𝑚!!

!!

𝐼 = !!"𝑚𝑙!

 

 Secara  umum  dapat  dituliskan  momen  inersia  dari  suatu  benda  adalah    

𝐼 = 𝑘𝑚𝑟!    dimana  𝑘  adalah  suatu  konstanta  tergantung  bentuk  benda  dan  letak  sumbu  putar      

Bentuk  Benda   Konstanta   Konstanta   Gambar  

Silinder    Tipis  Berongga   𝑘 = 1   𝐼 = 𝑚𝑟!  

 

Silinder  Berongga   𝑘 =12   𝐼 =

12𝑚 𝑟!! + 𝑟!!  

 

Silinder  Pejal   𝑘 =12   𝐼 =

12𝑚𝑟

!  

 

Bola  Pejal   𝑘 =25   𝐼 =

25𝑚𝑟

!  

 

Bola  Berongga   𝑘 =23   𝐼 =

23𝑚𝑟

!