03 respon sistem order satu

DINPRO / III / 1Dr. Eng. Y. D. Hermawan Jur. Teknik Kimia FTI - UPNVY

PEMODELAN & DINAMIKA PROSES ORDER SATU

Tujuan: Mhs mampu menjelaskan respon dinamik sistemorder satu terhadap berbagai perubahan input (misalnya: step, ramp, sinus).

Materi: 1. Respon Sistem Order Satu (respon-respon: step, ramp,

sinus, dead-time, lead-lag)2. Fungsi Transfer dan Diagram Blok (Penyederhanaan

diagram blok)3. Dinamika Proses Order Satu (proses termal pada

tangki, dinamika volume (liquid level), proses tangkipencampur, dll.)

III

DINPRO / III / 2Dr. Eng. Y. D. Hermawan Jur. Teknik Kimia FTI - UPNVY

3.1. Respon Sistem Order Satu

Pertimbangkan PD order satu linear berikut:

( ) ( ) ( )tbXtYadt

tdYa =+ 01

( ) ( ) ( ) ctbxtyadt

tdya +=+ 01

( ) ( ) ( ) cbxyadt

dya +=+ 000 01

(3.1.1)

Pada kondisi tunak (initial steady state):

(3.1.2)

=0

Pers. (3.1.1) Pers. (1.1.2):

(3.1.3)

DINPRO / III / 3Dr. Eng. Y. D. Hermawan Jur. Teknik Kimia FTI - UPNVY

3.1 Respon Sistem Order Satu

dimana: Y(t) = y(t) y(0) dan X(t) = x(t) x(0) adalah term deviasi

0

1

aa=

( ) ( ) ( )sKXsYssY =+

Pers (3.1.3) dibagi dengan a0 menghasilkan:

dimana:

( ) ( ) ( )tXKtYdt

tdY =+

0abK =

(3.1.4)

adalah konstanta waktu (time constant)

adalah Gain kondisi tunak (steady state gain)

Transformasi Laplace Pers (3.1.4) :

(3.1.5)

( ) ( )sXsKsY

+= 1 (3.1.6)

BAB III Respon Sistem Order Satu YDH - DINPRO - 2

DINPRO / III / 4Dr. Eng. Y. D. Hermawan Jur. Teknik Kimia FTI - UPNVY

Step Response

3.1. Respon Sistem Order Satu

Jika X(t) = x u(t) ; dari Tabel 2.2.1 diperoleh X(s) = x/s, dandisubstitusikan ke pers. (3.1.6) lalu diekspansi parsial menghasilkan:

( ) ( )[ ]tetuxKtY =

( ) ( ) sxK

sxK

sx

sKsY ++

=+= 11Kebalikan Laplace berdasarkan Tabel 2.2.1 menghasilkan:

(3.1.7)

dimana: u(t) adalah unity (=1)x adalah besarnya perubahan input (magnitude)

DINPRO / III / 5Dr. Eng. Y. D. Hermawan Jur. Teknik Kimia FTI - UPNVY

3.1 Respon Sistem Order Satu

1.000

0.9935.00.9824.00.9503.00.8652.00.6321.000

txK

tY

)(

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6 7

xKtY

)(

t

Gambar 3.1.1 Respon sistem order satu terhadap perubahan input fungsi tahap

DINPRO / III / 6Dr. Eng. Y. D. Hermawan Jur. Teknik Kimia FTI - UPNVY

3.1 Respon Sistem Order Satu

Ramp Response

( ) KrssKrsA

s=+= 2

202 1

lim

Ramp adalah kenaikan input secara linear dengan waktu mulai dari nol. Fungsi input: X(t) = rt, dimana r adalah slope dari Ramp. Dari Tabel2.2.1 diperoleh bentuk laplace X(s) = r/s2, disubstisusikan ke pers. (3.1.6) lalu dengan ekspansi parsial menghasilkan:

( ) KrssKrsA

s=+

+= 211 1

1lim

( ) ( ) sA

sA

sA

sr

sKsY 32

212 11

+++=+= A1 dicari dengan pers. (2.3.9) dan A2, A3 berdasarkan per. (2.3.13)

( ) KrssKrs

dsdA

s=

+= 22

03 1lim

BAB III Respon Sistem Order Satu YDH - DINPRO - 3

DINPRO / III / 7Dr. Eng. Y. D. Hermawan Jur. Teknik Kimia FTI - UPNVY

3.1 Respon Sistem Order Satu

Jadi diperoleh ramp response:

(3.1.8)( ) ( ) ( ) ( ) ( )tutrKerKturKtrKerKtY tt +=+=

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5 6 7 8

)(tX

KtY )(

Gambar 3.1.2 Respon sistem order satu terhadap perubahan input fungsi ramp

Output terlambat(lag)

setelahwaktu

DINPRO / III / 8Dr. Eng. Y. D. Hermawan Jur. Teknik Kimia FTI - UPNVY

3.1 Respon Sistem Order Satu

Sinusoidal Response

( )( )( )( )222 121lim + =++= iKAiss KAA is

Pertimbangkan X(t) = A sin(t), dimana A adalah amplitude dan adalah frekuensi (radian/waktu). Dari Tabel 2.2.1 diperoleh bentuklaplace X(s) = A /(s2+2), disubstisusikan ke pers. (3.1.6) lalu denganekspansi parsial menghasilkan:

( )( ) 222211 111lim +=++ += KAss KAsA s

( ) ( )

isA

isA

sA

sA

sKsY ++++=

+

+=321

22 11

Ingat (s2 + 2)=(s i) (s + i), dan A1, A2, A3 dicari dengan pers. (2.3.9)

( )( )( )( )223 121lim + +=+= iKAiss KAA is

DINPRO / III / 9Dr. Eng. Y. D. Hermawan Jur. Teknik Kimia FTI - UPNVY

3.1 Respon Sistem Order Satu

Dengan pers. (2.4.11) diperoleh sinusoidal response:

(3.1.9)( ) ( )

++

++= tKAeKAtY t sin

11 2222

dimana: = arctan()

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 5 10 15 20 25

)(tX

)(tY

Gambar 3.1.3 Respon sistem order satu terhadap perubahan input fungsi sinus

BAB III Respon Sistem Order Satu YDH - DINPRO - 4

DINPRO / III / 10Dr. Eng. Y. D. Hermawan Jur. Teknik Kimia FTI - UPNVY

3.1 Respon Sistem Order Satu

Response with Time Delay

( ) ( ) ( )( )/1 DttD ettuxKtY =

Pertimbangkan Proses dengan First Order Plus Dead-Time berikut:

Jika dikenai perubahan step input menghasilkan respon:

( ) ( )sXs

KesYDst

+=

1

Dimana tD adalah time delay atau dead time

(3.1.10)

(3.1.11)

Dimana u(t tD) menunjukkan bahwa responnya nol untuk t < tD

FOPDT

DINPRO / III / 11Dr. Eng. Y. D. Hermawan Jur. Teknik Kimia FTI - UPNVY

Gambar 3.1.4 Respon sistem order satu dengan time delayterhadap perubahan input fungsi tahap

3.1 Respon Sistem Order Satu

00.20.40.60.8

11.21.41.61.8

2

0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8t

Kx0

x

t = 0 t = tD

t D

X(t)

Y(t)

Time delay atau dead-time

0

DINPRO / III / 12Dr. Eng. Y. D. Hermawan Jur. Teknik Kimia FTI - UPNVY

3.1 Respon Sistem Order Satu

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

+

+++=

D

ttD tt

KAeKAttutY D sin11 22

/22

Respon FOPDT terhadap Ramp Input

( ) ( ) ( ) ( )[ ] += DttD ttKreKrttutY D / (3.1.12)

(3.1.13)

Respon FOPDT terhadap Sinusoidal Input

TUGAS 02

Buat grafik respon untuk pers. (3.1.12) dan pers. (3.1.13) !

Ambil nilai: K = 1, r = 1, tD = 3, = 1, = 1

BAB III Respon Sistem Order Satu YDH - DINPRO - 5

DINPRO / III / 13Dr. Eng. Y. D. Hermawan Jur. Teknik Kimia FTI - UPNVY

3.1 Respon Sistem Order Satu

Respon Untuk Unit Lead-Lag

Pertimbangkan FT Lead-Lag berikut:

( ) ( )sXsssY ld

++=

11

??

Dimana: ld adalah konstanta waktu untuk numerator (lead)lg adalah konstanta waktu untuk denominator (lag)

Lead-Lag diaplikasikan untuk kompensasi dinamik FFC (Feed Forward Control) dibahas pada pertemuan y.a.d.

(3.1.14)

Lead-Lag Unit

DINPRO / III / 14Dr. Eng. Y. D. Hermawan Jur. Teknik Kimia FTI - UPNVY

( ) ( ) ??

??

/1 tld etutY

+=

3.1 Respon Sistem Order Satu

0

0.5

1

1.5

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8

t

Y(t)

Gambar 3.1.5 Respon Lead-Lag Unit terhadap perubahan input fungsi tahap

(3.1.15)

Respon Lead-Lag Unit terhadap step input

2=??

ld1

0.5

0

DINPRO / III / 15Dr. Eng. Y. D. Hermawan Jur. Teknik Kimia FTI - UPNVY

( ) ( ) ? ???

??

??

++= tetY tld /Respon Lead-Lag Unit terhadap ramp input

3.1 Respon Sistem Order Satu

(3.1.16)

Gambar 3.1.6 Respon Lead-Lag Unit terhadap perubahan input fungsi ramp

0123456789

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10t

Y(t) X(t)

(a)

(b)

(ld lg)

(lg ld)

(a) Net Lead: ld > lg(b) Net Lag: lg > ld

BAB III Respon Sistem Order Satu YDH - DINPRO - 6

DINPRO / III / 16Dr. Eng. Y. D. Hermawan Jur. Teknik Kimia FTI - UPNVY

3.2 Fungsi Transfer danDiagram Blok

Fungsi Transfer

( ) ( )( ) )1()1(

11

1

11

1

++++++++==

sbsbsb

esasasaKsXsYsG n

nn

n

stmm

mm

D

LL (3.2.1)

Dimana: n mG(s) = fungsi transfer (secara umum)Y(s) = transformasi laplace variabel outputX(s) = transformasi laplace variabel inputK, a, b = konstantatD = deadtime

DINPRO / III / 17Dr. Eng. Y. D. Hermawan Jur. Teknik Kimia FTI - UPNVY

Diagram Blok3.2 Fungsi Transfer & Diagram Blok

Diagram blok dibentuk oleh kombinasi 4 elemen dasar:

1. panah (arrow) : informasi arah, yang menggambarkan variabel proses atausinyal kontrol

2. titik penjumlahan (summing point) : penjumlahan aljabar input panah3. titik percabangan (branch point) : posisi dimana panah bercabang menuju

ke titik penjumlahan atau blok yang lain4. blok (block) : operasi matematis dalam fungsi transfer

E(s)R(s) M(s)

C(s)

GC(s)

M(s)

+

Summing point Block

Branch point

Arrow Arrow

M(s) = Gc(s).E(s) = Gc(s).{R(s) C(s)}

DINPRO / III / 18Dr. Eng. Y. D. Hermawan Jur. Teknik Kimia FTI - UPNVY

3.2 Fungsi Transfer & Diagram Blok

G(s)X(s) Y(s)

Satu-Input-Satu-Output (SISO)

Diagram Blok Sederhana

Dua-Input-Satu-Output

G1(s)X1(s)

Y(s)

G2(s)X2(s)

+

+

G1(s)X1(s)

Y(s)G2(s)

X2(s)

+

++

Gn(s)Xn(s)

.

.

.

n-Input-Satu-Output

BAB III Respon Sistem Order Satu YDH - DINPRO - 7

DINPRO / III / 19Dr. Eng. Y. D. Hermawan Jur. Teknik Kimia FTI - UPNVY

( )( ) 1

1+= ssU

sYContoh 3.2.1: Gambarkan diagram blok untuk pers:

3.2 Fungsi Transfer & Diagram Blok